BIST 30 Hisseleri Üzerine Bir Markov Zinciri Uygulaması

Stokastik sistemlerin (uygulamada kullanacağımız hisse senedi fiyatları) kısa veya uzun dönemdeki davranışlarını modellemede kullanacağımız Markov zinciri, Markov sürecinin kesikli (tam sayılı, sonlu veya sayılabilir) durum uzayına sahip olduğu özel bir halidir. Markov süreci ise bir stokastik (rassal, olasılıksal) sürecin şimdiki değeri bilindiğinde sürecin gelecekteki değerlerinin geçmişteki değerlerinden koşullu olarak bağımsız olduğu süreçtir. Markov süreçlerinde bir durumdan diğer duruma geçiş olasılığı sürecin daha önce bulunduğu durumlara değil; yalnızca bir önceki duruma bağlıdır.

Uygulama için BIST 30 endeksine ait hisseleri seçtim. Konumuz eğer hisse senedi ise durum uzayımız (S) üç adettir (s): artış, aynı kalma ve azalış. Hisse senetlerine ait fiyatlar bu üç durumun herhangi birinden yine bu üç durumun herhangi birine geçiş yapabilir. Endeks üzerinden gidersek; son üç gündeki (10-11-12 Mayıs 2021) değerler sırası ile 1534.55, 1515.49 ve 1510.88’dir. 11 Mayıs değeri 10 Mayıs değerine göre azalış; 12 Mayıs değeri 11 Mayıs değerine göre yine azalış göstermiştir. Yani, 11 Mayıs – 12 Mayıs geçişinde azalış durumundan azalış durumuna geçiş olmuştur. Eğer azalıştan azalışa geçiş olasılığını p_{33} olarak ifade edersek; P(X_{t+1} = 3 | X_t = 3) = p_{33} ve i = 3, j = 3 ∈ S = \{1,2,3\} olur. Daha genel bir ifade ile t zamanında i durumunda iken t+1 zamanında j durumunda olma olasılığı şöyle formüle edilebilir: P(X_{t+1} = j | X_t = i) = p_{ij}. Sözel bir ifade ile i durumu gerçekleştiğinde j durumunun gerçekleşme olasılığıdır.

İnceleyeceğimiz hisseler:

Kaynak

Tarih aralığı 30 Nisan 2021 dahil geçmiş 253 gün olacaktır.

Örnek olması açısından THYAO hissesini alalım. Hisseye ait geçiş durumları aşağıdaki gibidir.

Geçiş matrisi, geçiş olasılıkları matrisi ve diyagram ile değerleri görelim.

ArtışAynıAzalışToplam
Artış57458119
Aynı7029
Azalış55563123
Geçiş Matrisi
ArtışAynıAzalışToplam
Artış0.480.030.491
Aynı0.780.000.221
Azalış0.450.040.511
Geçiş Olasılıkları Matrisi (Her bir değer satır toplamlarına bölünmüştür)

Geçiş olasılıkları matrisindeki olasılık değerleri 0 \leq p_{ij} \leq 1; yani 0 ile 1 arasında olmalıdır. Bununla beraber bir durumdan diğer durumlara geçişte olasılık değerlerinin toplamı 1; yani her bir satırın toplamı 1 olmalıdır.

Bir adım geçiş olasılık diyagramı

Diyagramı okuyalım:

t gün kapanışt+1 gün kapanış durumu olasılığı
Azalış51% Azalış
Azalış4% Aynı
Azalış45% Artış
Aynı0% Aynı
Aynı22% Azalış
Aynı78% Artış
Artış48% Artış
Artış3% Aynı
Artış49% Azalış

Markov zincirlerinin, sistemin belli bir anda bulunacağı durumu tahmin etme özelliğinin dışında sistemin uzun dönemde bulunacağı durumu (denge durumu) tahmin etme yeteneği de vardır. Geçiş olasılıkları matrislerinin kuvvetleri alındığında matris uzun dönem denge durumuna ulaşmaktadır. Diğer bir ifade ile elde edilecek olan yeni matrisin her bir satırı aynı olmaktadır. Bu da bize sürecin gelecekte bulunacağı olasılıkları vermektedir. R programlama dili yardımı ile 30 adet hissenin geçiş olasılıkları matrisinin kuvvetlerini almış ve uzun dönem denge durumuna ulaşmış olacağız.

30 Nisan’da (t-1: 11.98 t: 12.23) THYAO hissesi artış ile kapatmıştı. Buradan yola çıkarak 12 Mayıs’a kadar olan olasılıkları ve gerçek durumları karşılaştıralım.

TarihOlasılıklar (Artış-Aynı-Azalış)GerçekleşenSonuç
03.05.202148 – 3 – 49 %Artış (12.92)hayır
04.05.202147 – 4 – 49 %Azalış (12.62)evet
05.05.202147 – 4 – 49 %Azalış (12.60)evet
06.05.202147 – 4 – 49 %Artış (12.93)hayır
07.05.202147 – 4 – 49 %Artış (12.99)hayır
10.05.202147 – 4 – 49 %Artış (13.37)hayır
11.05.202147 – 4 – 49 %Azalış (13.35)evet
12.05.202147 – 4 – 49 %Artış (13.39)hayır

Yukarıdaki tabloya ek bir bilgi olarak Markov zincirlerinde geçiş olasılıklarının zamandan bağımsız olması nedeniyle (ki buna durağan da diyebiliriz) n-aşamalı geçiş olasılıkları, geçiş olasılıkları matrisinin n. kuvveti alınarak hesaplanır.

THYAO için denge durumu matrisi şöyledir:

\pi_{THYAO} = [0.47 0.04 0.49]

Sonsuza doğru gittikçe (\lim_{n \to \infty}) yukarıdaki örnekte olduğu gibi uzun dönem denge vektörü oluşur. Uzun dönem denge vektörü yardımı ile THYAO hisse fiyatlarının uzun dönemde 47% olasılıkla artacağını; 4% olasılıkla aynı kalacağını ve 49% olasılıkla azalacağını söyleyebiliriz.

Uzun dönem denge durumlarını bulduktan sonra THYAO hisse senedinin beklenen değerini tarihsel fiyat değişimlerini baz alarak aşağıdaki gibi hesaplayabiliriz.

İlgili tarih aralığında THYAO ortalama olarak 1.692% pozitif; -1.535% negatif getiri getirmiştir. 1000 TL’lik bir hisse senedi yatırımı yapmış olduğumuzu varsayarsak; pozitif ve negatif getiri ile 1000 TL sırasıyla 1016.92 ve 984.65 TL olur. Beklenen değer ise (1016.92 * 0.47) + (1000 * 0.04) + (984.65 * 0.49) = 1000.43 TL olur. Bu değer 1000 TL’lik yatırımın uzun dönemdeki beklenen değeridir.

Markov zincirleri ile durumların yinelenme sürelerini de hesaplayabiliriz. Aslında bu da uzun dönem denge durum vektörlerinin çarpımsal tersidir: (\frac{1}{\pi_1}, \frac{1}{\pi_2}, \frac{1}{\pi_3}) ya da kısaca \mu_{jj} = \frac{1}{\pi_j} diyebiliriz. Buradan hareket ile THYAO için (\frac{1}{0.47}, \frac{1}{0.04}, \frac{1}{0.49}) = 2, 28 ve 2’dir. Yani, THYAO hisse senedinde bir artış durumunda ortalama 2 gün sonra tekrar artış durumu; azalış durumunda ortalama 2 gün sonra tekrar azalış durumu; aynı kalma durumunda ortalama 28 gün sonra tekrar aynı kalma durumu yaşanacaktır. Özetle, bir durumdan yine aynı duruma geçmek için gereken ortalama bekleme süresi yinelenme süresini tanımlamaktadır.

THYAO hisse senedi örneğinden yola çıkarak Markov zincirlerini anlatmış olduk.

BIST 30 endeksine ait hisselerin tamamı için sonuçlar aşağıdaki gibidir.

Uzun dönemde;
En çok artış olasılığına sahip hisse 57% ile ARCLK,
En çok beklenen değere sahip hisse 1000 + 12.9 TL ile ARCLK olmuştur.

Yatırım kararlarınızda kullanacağınız faydalı bir araç olmasını umuyorum.

Aşağıda kaynağını vereceğim makaleden alıntı ile yazımı bitiriyorum: Özellikle olasılığa dayalı modeller, yatırımcılara hangi dönemde, hangi olasılıkla, ne kadar kazanabileceğini, geçmiş verileri dikkate almak suretiyle yatırım döneminden önce yaklaşık olarak hesaplayabilmektedir.

********************

Yararlandığım Kaynaklar:

Stokastik Süreçler ve R Uygulamaları (Gamze Özel Kadılar)

HİSSE SENEDİ FİYATLARININ MARKOV ZİNCİRLERİ İLE ANALİZİ: BIST 100 ŞİRKETLERİ ÜZERİNE BİR UYGULAMA

HİSSE SENEDİ FİYAT VERİMLİLİĞİNİN MARKOV ZİNCİRLERİ İLE ANALİZİ BIST TEKNOLOJİ ENDEKSİ HİSSE SENEDİ FİYATLARI ÜZERİNE BİR UYGULAMA

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir