Opsiyon Anlaşmaları (Matlab kodları ile)

Opsiyon, iki taraf arasında yapılan ve alıcısına ileriki bir tarihte, sözleşmenin yapıldığı gün belirlenen fiyattan, belirli bir miktardaki varlığı satın alma veya satma hakkı tanıyan sözleşmelerdir. Alıcı, bu hak karşılığında satıcıya peşin olarak bir prim ödemek zorundadır.

Alıcının prim karşılığında elde ettiği hak, satıcı için bir yükümlülüğü ifade etmektedir. Alıcı bu hakkı kullanmayı tercih ederse, satıcı sözleşmenin yükümlülüklerini yerine getirmek zorundadır.

Bu anlaşmaların forward ve futures işlemlerinden temel farkları vade geldiğinde alma ya da satma zorunluluğunun olmamasıdır.

Alım opsiyonu (call option) alıcısına satın alma hakkı tanır.

C = max\{0 , S_T – K\}

Satım opsiyonu (put option) alıcısına satma hakkı tanır.

P = max\{0 , K – S_T\}

  • Avrupa tipi (European) opsiyon sadece vade sonunda kullanılabilir.
  • Amerikan tipi (American) opsiyon vade sonuna kadar her an kullanılabilir.
Opsiyonlarda Kar/Zarar

1. Put – Call Paritesi (Avrupa Tipi)

Alım ve satım opsiyonu fiyatı birbiriyle ilişkilidir.

Örnek verecek olursak 2 portföyümüz olsun.

A: Avrupa tipi alım + Vade sonu K değeri olan bono

C: Avrupa tipi satım + Hisse senedi

Her ikisi de vade sonunda max(S_T,K) değerine eşittir. Dolayısıyla vade başında da birbirine eşit olmalıdır.

c + Ke^{-r(T-t)} = p +S

Uygulama:

c = 3 , So = 31 , T = 0.25 , r = 10% , K = 30

Çözüm:

c + Ke^{-r(T-t)} = p +S

p = 3 + 30 * exp( -0.25 * 10%) – 31 → p = 1.2593

Eğer p = 2.25 ise

C portföyü A’ya göre pahalıdır. Bu durumda alım opsiyonunu alırken ve satım opsiyonunu satıp, hisse senedini shortlayarak arbitraj yapılabilir. Net durum; “+Call-Put-Hisse”

C satımından elde edilen → 31 + 2.25 = 33.25

Call opsiyonu 3’e alındıktan sonra net akış → 33.25 – 3 = 30.25‘dir.

Faize konulan bu para 3 ay sonra → 30.25 * exp( 0.25 * 10%) = 31.02 olur.

3 ay sonra:

  • Eğer S(T) > 30 ise call kullanılıp (30 lira ödeme yapılır) short hisse pozisyonu kapatılır. Put’un bir değeri olmadığı için –> 31.02 – 30 = 1.02 kar sağlanmış olur.
  • Eğer S(T) < 30 ise put opsiyonu karşılığı 30 – S(T) ödeme yapılması gerekir ama hisse senedi short pozisyonunu da kapatmak için S(T) kadar ödeme yapılması gerekir.

Toplam ödeme 30 lira olur ve net kar yine → 31.02 – 30 = 1.02 olur.

2. Put – Call Paritesi (Amerikan Tipi)

Amerikan tipi opsiyonlarda put-call paritesi bir eşitlik olarak çalışmaz ama aşağıdaki ilişkiyle varlığı gösterilebilir.

So – K ≤ C - P ≤ So – Ke^{-rT}

Uygulama:

Temettü vermeyen bir hisse senedi için, Amerikan tipi bir call oposiyonun fiyatı 4 TL. Hisse senedinin fiyatı 31 TL ve kullanım fiyatı 30 TL. Söz konusu vade 3 ay ve riksiz faiz oranı 8%. Aynı hisse için yine aynı vadede ve kullanım fiyatı olan bir put opsiyonunun fiyatı hangi aralıkta olması gerekir? Eğer bir put opsiyonunun fiyatı 3.2 TL ise nasıl arbitraj olanakları sunar?

Çözüm:

So – K ≤ C - P ≤ So – Ke^{-rT}

So = 31 , K = 30 , T = 0.25 , r = 8% , C = 4

31 – 30 = 1 ≤ 4 – P ≤ 31 – 30 * exp( -0.25 * 8%) = 1.59

P ≥ 2.41 ve P ≤ 3

Opsiyon fiyatı 3.2 TL ise;

P1: Put opsiyon+Hisse senedi

P2: Call opsiyon+Nakit (K)

P1 shortlanır ve call satın alınır. Put opsiyonu ve hisse senedini satan ama call opsiyonu alan bir yatırımcı → 3.2 + 31 – 4 = 30.2 TL nakit akışı görür. Net durum; “-Put-Hisse+Call”.

Nakiti faize koyarsa 3 ay sonra 30.2 * exp( 8% * 0.25) = 30.81 TL elde edilebilir.

  • Eğer S(T) > 30 lira ise put değersiz, call ile hisse senedi short pozisyonunu kapatır (30 TL karşılığı) ve net kar → 30.81 – 30 = 0.81 TL olur.
  • Eğer S(T) < 30 lira ise call değersiz, put kullanılır ve short hisse senedi pozisyonu kapanır ama 30 TL net nakit çıkışı olur (karşı taraf 30 TL karşılığında hisseyi satma hakkı vardı) ve net kar → 30.81 – 30 = 0.81 TL olur.
clear,clc,close all
S0=50;K=50;T=1;r=0.10;sig=0.30;n=30;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
sonuc=[];
for n=1:1:500
dt=T/n; u=exp(sig*sqrt(dt));d=exp(-sig*sqrt(dt));a=exp(r*dt);p=(a-d)/(u-d);q=(u-a)/
(u-d);
S=zeros(n+1,n+1);
% ilk satırı doldur
S(1,1)=S0;
for j=2:n+1
 S(1,j)=S(1,j-1)*u;
end
% alt satırları doldur
for i=2:n+1
 S(i,i)=S(i-1,i-1)*d;
 for j=i+1:n+1
 S(i,j)=S(i,j-1)*u;
 end
end
% s matrisi dolduruldu
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% f matrisini yapalım opsiyon avrupa call olsun
f=zeros(n+1,n+1);
for i=1:n+1;
 f(i,n+1)=max(S(i,n+1)-K,0);
end ;
%%%%%%%%%%%%%%%
%AMERİKAN CALL
for j=n:-1:1
 for i=1:j
 f(i,j)=max(S(i,j)-K ,1/a*(p*f(i,j+1)+q*f(i+1,j+1)));
 end
end ;
call_a=f(1,1);
%%%%%%%%%%%%%%%
%AVRUPA CALL
for j=n:-1:1
 for i=1:j
 f(i,j)=1/a*(p*f(i,j+1)+q*f(i+1,j+1));
 end
end ;
call_e=f(1,1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% f matrisini yapalım opsiyon avrupa put olsun
f=zeros(n+1,n+1);
for i=1:n+1;
 f(i,n+1)=max(K-S(i,n+1),0);
end ;
%%%%%%%%%%%%%%%
%AMERİKAN PUT
for j=n:-1:1
 for i=1:j
 f(i,j)=max(K-S(i,j) ,1/a*(p*f(i,j+1)+q*f(i+1,j+1)));
 end
end ;
put_a=f(1,1);
%%%%%%%%%%%%%%%
%AVRUPA PUT
for j=n:-1:1
 for i=1:j
 f(i,j)=1/a*(p*f(i,j+1)+q*f(i+1,j+1));
 end
end ;
put_e=f(1,1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
sonuc=[sonuc;n call_a put_a call_e put_e];
end
N=sonuc(:,1);CALL_A=sonuc(:,2);PUT_A=sonuc(:,3);CALL_E=sonuc(:,4);PUT_E=sonuc(:,5);
plot(N,CALL_A,N,PUT_A,N,CALL_E,N,PUT_E),legend('Call,Amerikan','Put,
Amerikan','Call, Avrupa','Put,Avrupa')
xlabel('strike')
ylabel('option price')
title('American vs. European Put-Call Options')

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir