Opsiyon ve Black Scholes Modeli İncelemesi

OPSİYON

Tanımlara geçmeden önce, yüzyıllardır ticaret hayatımızda olan opsiyonu ve belirgin özelliklerini bir örnekle inceleyelim.

Opsiyonların önemli dört karakteristiği vardır;

  1. Sözleşmeye dayalı bir haktır
  2. Belirli bir süre için yürürlüktedir
  3. Opsiyon sahibinin bir varlığın değerindeki değişimden kar etmesini sağlar
  4. Yürürlükte olduğu sürece değeri vardır.

Tarihte ilk opsiyon sözleşmesini gerçekleştiren Miletli filozof Thales’tir. Gelecek hasat döneminde, hava koşullarına bağlı olarak zeytin mahsulünün çok fazla olacağını öngörmüştür. Zeytinyağı yapmak için o bölgede kullanılan tüm pres makinelerini, sahiplerine belirli bir ücret ödeyerek hasat dönemi boyunca (belirli bir süre – 2. madde) işletme opsiyonunu satın almıştır.(anlaşma ile mal üzerinde kullanım hakkı elde etmiştir – 1. madde) Hasat dönemi zeytin rekoltesi arttığı için pres makinelerine olan talep de artmıştır. Makinelerin işletme opsiyonunu elinde bulunduran Thales, makineleri daha yüksek bir fiyata kullandırmış ve kar etmiştir. (dayanak varlığının fiyatındaki değişimden kar elde etmiştir – 3. madde) Hasat dönemi süresince pres makinelerinin işletme hakkını elinde bulundurmuş ve hasat sonunda anlaşmanın da ömrü sona ermiştir. (sözleşmeye dayalı olarak bir değeri vardır – 4. madde)

Söz konusu örnekten yola çıkarak finansal açıdan opsiyonlar için aşağıdaki tanımlamayı yapabiliriz.

Finansal açıdan opsiyon, sahibine (hamiline) dayanak bir varlığı belirli bir kullanım fiyatından, anlaşmaya bağlı olarak belirli bir tarihte satın alma veya satma hakkını veren ancak yükümlülüğünü aktarmayan bir sözleşmedir.

Yani opsiyon fiyatının belirlenmesi, söz konusu dayanak varlığın gelecekteki kullanım fiyatını ölçmek ile ilgilidir.

Opsiyon sözleşmeleri yüzyıllar boyunca hayatımızda olmasına rağmen; fiyatlarının ölçülmesi konusunda standardize olmuş bir yaklaşım bulunmamaktaydı. Gelecekteki beklentinin sayısallaştırılması ve kullanılan varsayımlar açısından sorunlar vardı. Hatta birçok ekonomist böyle bir modelin geliştirilebilmesinin mümkün olmadığını düşünmekteydi.

Fischer Black ve Myron Scholes kendinden öncekilerin çalışmalarından yararlanarak, gelecekteki kullanım hakkının fiyatlandığı modeli oluşturup varsayımlarını formülize etmiştir.

BLACK SCHOLES MODELİ VARSAYIMLARI

Black Scholes formülünün çıkış noktası “risk teorik olarak piyasalardan kalkarsa opsiyonlar nasıl fiyatlanır?” sorusudur. Ve bu soruya varsayımlara dayanarak “opsiyonun vadedeki içsel değeri (intrinsic value) cevabını verir. Buradan yola çıkarak opsiyon (aslında tüm türev ürünler) risk-free bir dünyadaymış gibi hesaplanır ve riskin gerçekleşme olasılığı ile çarpılır.

Black Scholes opsiyon fiyatlama modeli temel olarak 3 ana varsayım kullanır.

  1. Efficient Market Hypothesis
  2. Random Walk Theory
  3. No Riskless Arbitrage Argument

Bunlarla beraber Central Limit Theorem ve Emprical Rule gibi istatistiksel varsayımlar olası gelecek fiyat değerlerinin hesaplanmasını sağlamıştır.

Efficient Market Hypothesis

Black Scholes modelinin ilk varsayımı, piyasaların Efficient Market Hypothesis’i (Etkin Piyasalar Hipotezi) takip ettiğidir. İlk olarak 1970 yılında Eugene Fama’nın “ Efficient Capital Markets: A Review of Theory and Empirical Work” adlı kitabında konu edilmiştir. Fama çalışmasında piyasaların Efficient Market Hypothesis’in zayıf formunu takip ettiğini; menkul kıymet fiyatlarının mevcut tüm halka açık piyasa bilgilerini yansıttığını varsaymakta ve piyasa getirisinin üzerinde bir getirinin mümkün olmadığını ortaya koymaktadır.

Random Walk Theory

Piyasaların verimli olduğu kabul edilirse, varlıkların fiyat, hacim ve getiri ile ilgili geçmiş bilgilerinin, gelecekteki fiyatlardan bağımsız olduğu, piyasaların Random Walk Theory (Rassal Yürüyüş Kuramı)’nı takip ettiği, fiyatın rastgele bir yolda oluştuğu varsayılmaktadır.

Piyasa ve varlık fiyatları söz konusu olduğunda, fiyatın izlediği yolun Geometric-Brownian Motion (GBM – Geometrik Brownian Hareket) olarak adlandırılmaktadır. Geometric Brownian Motion, matematiksel olarak bir dizi rastgele adımı izleyen sürekli zamanlı bir stokastik süreçtir.

Random Walk Theory discrete-space (tamsayılar) ve discrete-time modeli iken, GBM continuous-space ve continuous-time modelidir.

Fizikte moleküllerin hareketlerini açıklamak için kullanılan Geometric Brownian Motion metodunu, piyasa ve varlık fiyatlarındaki benzer hareketi açıklamak için ilk olarak Louis Bachelier kullanmıştır. GBM’nin fiyat değişimlerine etki eden iki adet bileşeni bulunmaktadır; tüm piyasalarda etki eden drift rate (sürüklenme oranı) ve volatilite sonucu oluşan Random shock (rassal şok).

NO RISKLESS ARBITRAGE ARGUMENT

No Riskless Arbitrage Argument (Risksiz Arbitraj Getirisi Olmaması) Geometric Brownian Motion’da belirtilen driftrate’in risk free rate (risksiz getiri oranı) olarak açıklanır. Arbitraj hesaplaması mantığına bu yazıda değinilmeyecektir. Ancak Black Scholes modelindeki varsayım kısaca aşağıdaki şekilde açıklanabilir.

Teoriyi oluşturmak için Fischer Black ve MyronScholes, Robert Merton’un da katkılarıyla Stochastic Ito Calculus kullanarak Dynamichedge gerçekleştirmiştir.

Dynamichedge: Teorik olarak birbirini denkleştiren iki pozisyon alınarak tüm fiyat değerleri için riskin sıfırlanmasıdır.

Bir başka deyişle, piyasa hareketleri boyunca sürekli olarak bir pozisyon kar ederken diğer pozisyonun aynı oranda zarar etmesi sonucu oluşturulan hedge işlemidir. Dynamichedge sonucunda arbitraj kazançlarının oluşmaması amacıyla yukarıda bahsedilen driftrate’in risk free rate olması gerektiği söylenmiştir.

Her ne kadar piyasada tüm halka açık bilgilerin herkes tarafından bilindiği ve piyasanın getirisinin üzerinde getiri elde etmenin mümkün olmadığı pek gerçekçi olmasa da Black Scholes formülü teorik olarak bir perfect market (verimli piyasa) modellemektedir.

BLACK SCHOLES FORMÜLÜ

Black Scholes formülü aşağıdaki şekilde oluşturulmuştur. Formül ne kadar karmaşık gözükse de yukarıda bahsedilen varsayımlara dayanan anlaşılması basit bir modeldir.

Formül bileşenleri aşağıdaki gibidir :

c : Alım opsiyonu fiyatı

S : Dayanak varlığın spot fiyatı (opsiyonun alındığı tarihteki fiyatı)

X : Strike fiyatı (Anlaşmaya göre gelecekte alım yapılabilecek fiyat)

e^{-r(T-t)} : Paranın zaman değeri faktörü

N(d_1) ve N(d_2) : Riske dayalı olasılık dağılımı

\sigma^2 : Dayanak varlığın varyansı

(T-t) : Opsiyon vade tarihi ile spot tarihi arasındaki zaman aralığı

Modelin temel mantığını anlatmak için risk bileşenini formüle dahil ederek ve hariç bırakarak fiyatlayacağız.

Risk Hariç Opsiyon Fiyatlaması

Varsayımları tartıştığımız bölümde bir varlık fiyatındaki değişime etki eden faktörleri konuşmuştuk. Riskin olmadığı bir piyasada tüm varlık fiyatlarının piyasadaki risk-free rate kadar değişebileceğini belirtmiştik. (No Riskless Arbitrage Argument) Black Scholes formülünde paylaşıldığı üzere N(d_1) ve N(d_2) fiyattaki değişimi risk dahil olarak açıklayan bileşenlerdir. Risk-free bir dünyadaki fiyatlamayı hesaplayabilmek adına bu bileşenleri formülden çıkaracağız.

Risk hariç tutulduğunda opsiyon fiyatına etki eden volatilite faktörü ortadan kalkacaktır. Yani varlığın fiyatı sadece drift rate olan risk-free rate ile hareket edecektir. Bu hareketi spot fiyata uyguladığımızda, varlığın opsiyonun vade sonundaki fiyatını buluruz. Bu fiyatı Se^{r(T-t)} olarak hesaplarız. Opsiyonun değerini bulmak için ise varlığın vade sonundaki değerini opsiyonun strike fiyatından (anlaşma fiyatından) çıkartırız.

Elde ettiğimiz sonuç opsiyonun gelecekteki değeri olmuş olur. Opsiyonun bugünkü fiyatını bulabilmek için opsiyon fiyatını risk free rate ile iskontolarız.

(Se^{r(T-t)} - X) : Opsiyonun gelecekteki değeri

\frac{1}{e^{r(T-t)}} : İskonto faktörü

Sonuç olarak, risk hariç fiyatlama sonucunu opsiyonun vade sonundaki içsel değerinin (intrinsic value) bugünkü değere indirgenmesi şeklinde buluruz. Yukarıdaki formül için gerekli sadeleştirmeler yapıldığında risk hariç Black Scholes formülüne ulaşırız.

Risk Dahil Opsiyon Fiyatlaması

Risk hariç fiyatlamada opsiyon fiyatının, gelecekteki içsel değerinin bugüne indirgenmiş fiyatı olduğunu gördük. Opsiyon fiyatlamasında riski dahil etmek bize formülde N(d_1) ve N(d_2) olarak belirtilen iki bilinmeyen vermektedir. Söz konusu iki bilinmeyen terim, olasılık dağılımı (probability distribution) gerçekleştirilerek çözülmektedir. Başka bir deyişle N(d_1) ve N(d_2) gelecekteki fiyatlar ile ilgili olasılıkları belirtmektedir. N(d_1) ve N(d_2) ile hesaplanan olasılıklar ise Strike Price’ı ve gelecekteki Spot Price’ı düzenlemek için kullanılır.

Risk dahil opsiyon fiyatlamasında akla ilk gelen bilinmeyen, opsiyonun uygulanıp uygulanmayacağıdır. Bir başka deyişle bir alım opsiyonu için varlık fiyatının (spot price) anlaşma fiyatından (strike price) büyük mü yoksa küçük mü olacağı sorusudur. Eğer vadedeki spot fiyat anlaşma fiyatından küçükse opsiyon gerçekleştirilmez, eğer büyükse mevcut piyasa fiyatının altında bir fiyattan opsiyon uygulanır (exercise edilir). Tıpkı Thales’in yaptığı gibi. Opsiyonun uygulanıp uygulanmayacağı sorusuna N(d_2) kullanılarak cevap verilmektedir. Basit bir şekilde bir opsiyonun gerçekleşme olasılığını probability distribution (olasılık dağılımı) ile cevaplarız.

Risk free bir dünyada varlığın gelecekteki fiyatının piyasadaki drift rate yani risk free rate ile Se^{r(T-t)} olarak belirtilebileceğini yukarıda konuşmuştuk.

Risk Hariç:

Piyasalarda volatility’nin risk faktörü olduğu düşünüldüğünde riskin tekrar eşitliğe dahil edilmesini, volatilitenin eşitliğe girmesi olarak belirtebiliriz.

Risk Dahil:

Varlık fiyatının her gün rassal koşullara bağlı olarak artıp azalabileceği göz önünde bulundurulduğunda, Central Limit Theorem (Merkezi Limit Teorisi)’ne göre günlük periyodik getiri oranları normal dağılıma (normal distribution) sahip olmaktadır. Yani bir varlığın yeterli miktarda getiri oranını incelediğimizde çan eğrisi şeklinde bir normal dağılım gösterdiğini anlarız. Bu gözlemi bahsedilen varsayımlar ışığında aşağıdaki şekilde gerçekleştirebiliriz.

Bu noktadan yola çıkarak gelecekteki getiri dağılımının da normal dağılım göstereceğini öngörebiliriz. Dağılım ortalaması (mean)  \mu = r - \frac{\sigma^2}{2} olan bir dağılım göstermektedir.

Probability Distribution Curve’ün (Olasılık Dağılımı Eğrisi) altında kalan alanların toplamı %100’e eşit olup ; gerçekleşebilecek tüm getiri olasılıklarının dağılımını göstermektedir. Bu dağılımdan yola çıkarak varlığın fiyatının vade tarihinde strike price’ın üzerinde olup olmama olasılığını bulabiliriz. Söz konusu olasılığı bulabilmek amacıyla spot price’ın strike price’a eşit olabilmesi için gerekli değişim oranının varlığın ortalama değişim oranından kaç standart sapma uzağında olduğunu bulmamız yeterli olacaktır. Basitçe belirtmek gerekirse;

Yukarıda belirtilen şekilde işlemin standart Z-skorunu oluşturulabiliriz. Z-Skorunu normal dağılım grafiğine koyduğumuzda z-skorun sağında kalan alanın spot price’ın strike price eşit veya büyük olabileceği olasılığı oluşturduğunu gözlemleyebiliriz. Ancak N(Z Score) dağılımın solundaki alanı vermektedir. Bu sebeple N(-Z Score) işlemin sağında kalan alanı bulabiliriz.

Opsiyonun uygulanıp uygulanmayacağı sorunun cevabını ise d_2 = – Z Skoru olarak verebiliriz. Yukarıda paylaşılan formülden yararlanarak aşağıdaki eşitliğe ulaşırız. Zaman aralığı 1 yıl olarak kabul edilmiştir.

Eşitliği negatif “-“ ile çarpıp logaritma kurallarına göre dönüştürdüğümüzde Black Scholes formülündeki d_2 sonucunu elde ederiz.

Bulduğumuz sonucun olasılık dağılımını yani N(d_2) bulmamız bize opsiyonun % kaç olasılıkla uygulanacağı sonucunu verecektir.

Bir diğer bilinmeyen ise sadece ve sadece opsiyon uygulandığında (exercise edildiğinde) varlığın vade sonundaki değeri ne olacaktır sorusudur.  Bu olasılık, N(d_1), bir koşullu olasılık (conditional probability) olarak yorumlanabilir. N(d_1) bize opsiyon uygulandığında spot price’ın ne kadar olacağını söylemektedir. d_1 ’e hesaplanan d_2 aracılığıyla aşağıdaki formül ile ulaşılabilir.

Black Scholes formülü finansal piyasaları ve dünyayı değiştiren formüller arasında yer almaktadır. Finans dünyasının en önemli matematiksel formülü olarak görülmektedir. Fischer Black ve Myron Scholes’un opsiyon fiyatlamasını standardize ettiği bu formül aracılığıyla global piyasalarda her gün milyarlarca dolarlık opsiyon işlemi gerçekleştirilmektedir.

Kaynaklar

Kobayashi-Solomon, E. (2014). The Intelligent Option Investor: Applying Value Investing to the World of Options (1st ed.). McGraw-Hill Education.

Nielsen, L. (1992, 10). Undestanding N(d1) and N(d2): Risk adjusted probabilities in the Black-Scholes model. working paper, 1-16. Retrieved 03 08, 2021, from http://www.ltnielsen.com/wp-content/uploads/Understanding.pdf

Jiahao, T. Z. (2020, June 23). Random Walk, Brownian Motion, and Stochastic Differential Equations — the Intuition. Medium. https://towardsdatascience.com/random-walk-brownian-motion-and-stochastic-differential-equations-the-intuition-3484413503e0

Saltoğlu, B. (2019, June 30) SPL Lisanslama Sınavları Çalışma Notları: Türev Araçlar, Piyasalar ve Risk Yönetimi, Retrieved 03 08, 2021, from https://www.spl.com.tr/docs/other/8439995c-d40c-45.pdf

Derman, E. (2003). The Boy’s Guide to Pricing & Hedging. SSRN Electronic Journal, 1–5. https://doi.org/10.2139/ssrn.364760

InformedTrades – The Black Scholes Course. (2012). YouTube. https://www.youtube.com/user/InformedTrades

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir